Pochodne funkcji - podstawowe reguły
Definicja pochodnej
Pochodna funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\) to:
\[
f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
\]
Podstawowe reguły różniczkowania
Reguła potęgowa
\[
\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}
\]
Reguła stałej
\[
\frac{d}{dx} c = 0 \quad (c - \text{sta?a})
\]
Reguła sumy
\[
\frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)
\]
Reguła iloczynu
\[
\frac{d}{dx} (f(x) \cdot g(x)) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
\]
Reguła ilorazu
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}
\]
Pochodne funkcji elementarnych
FunkcjaPochodna \( \sin x \)\( \cos x \) \( \cos x \)\( -\sin x \) \( e^x \)\( e^x \) \( \ln x \)\( \frac{1}{x} \) \( \log_a x \)\( \frac{1}{x \ln a} \)Zastosowania pochodnych
- Ekstrema funkcji: \(f'(x) = 0\)
- Wzrost/malejąca: \(f'(x) > 0\) - rosnąca, \(f'(x) < 0\) - malejąca
- Interpretacja geometryczna: współczynnik kierunkowy stycznej